Лабораторная 3.3 — Цифровое смешение и перенос частоты¶

Цель¶

Понять, как комплексное умножение на цифровой гетеродин переносит IQ-сигнал по частоте и почему знак частотного сдвига критичен для DUC/DDC-трактов.

Что выполняется¶

В работе студент:

формирует комплексный IQ-сигнал;
создаёт цифровой NCO/гетеродин;
выполняет комплексное смешение;
строит спектры до и после переноса;
анализирует ошибки знака и зеркального отображения спектра.

Результат¶

После выполнения работы должны быть получены:

спектр исходного сигнала;
спектр после цифрового переноса;
таблица с ожидаемым и измеренным частотным положением;
объяснение связи с RF и Verilog-реализацией.

Что приложить к отчёту¶

частоту дискретизации;
частоту цифрового гетеродина;
знак переноса;
спектры до/после;
вывод о корректности частотного плана.

Подробная техническая часть¶

Связь с FPGA¶

Работа это прямой мост между программной обработкой SDR и блоками FPGA: DDS/NCO, комплексный умножитель, преобразователь частоты и цифровой понижающий преобразователь.

Теория¶

Цифровое смешивание умножает входной комплексный сигнал на комплексную экспоненту:

y[n] = x[n] * exp(j * 2*pi*f_shift*n/Fs)

Для комплексного сигнала основной полосы это сдвигает спектр на f_shift.

Важные понятия:

комплексная синусоида;
NCO / DDS;
аккумулятор фазы;
разрешение по частоте;
комплексное умножение;
положительные и отрицательные сдвиги частоты;
спектральные образы и заворот;
представление фазы и синуса/косинуса в fixed-point.

Эксперимент¶

Сгенерируйте или загрузите IQ-сигнал с тоном или модулированной формой сигнала вдали от DC.

Затем:

оцените или задайте смещение входной частоты;
сгенерируйте NCO;
умножьте сигнал на NCO;
сравните спектры до и после сдвига частоты;
убедитесь, что целевой сигнал переместился на ожидаемую частоту;
обсудите разрешение NCO по частоте и ширину fixed-point аккумулятора фазы.

Запуск эталонного скрипта¶

python blocks/block_03_dsp_basics/python/lab_3_3_digital_mixing.py

Скрипт детерминирован и записывает:

docs/assets/lab33_digital_mixing.png
docs/assets/lab33_digital_mixing_metrics.json

Сначала запустите его и сверьте числа с разделом Чего ожидать ниже. Затем напишите собственную версию по минимальной структуре ниже; эталонный скрипт: ваш ключ для проверки.

Реализация на Python¶

Минимальная структура собственной реализации:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 2.4e6
n = 32768
t = np.arange(n) / fs

f0 = 420e3
x = np.exp(1j * 2*np.pi*f0*t)

f_shift = -420e3
nco = np.exp(1j * 2*np.pi*f_shift*t)
y = x * nco

freq = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(n, d=1/fs))
X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x * np.hanning(n)))
Y = np.fft.fftshift(np.fft.fft(y * np.hanning(n)))

plt.figure()
plt.plot(freq/1e3, 20*np.log10(np.maximum(np.abs(X), 1e-12)), label="before")
plt.plot(freq/1e3, 20*np.log10(np.maximum(np.abs(Y), 1e-12)), label="after")
plt.grid(True)
plt.xlabel("Frequency, kHz")
plt.ylabel("Magnitude, dB")
plt.legend()
plt.show()

Реализация на MATLAB¶

Минимальная структура собственной реализации:

fs = 2.4e6;
N = 32768;
t = (0:N-1).' / fs;

f0 = 420e3;
x = exp(1j*2*pi*f0*t);

fShift = -420e3;
nco = exp(1j*2*pi*fShift*t);
y = x .* nco;

freq = fftshift((-floor(N/2):ceil(N/2)-1).' * fs / N);
X = fftshift(fft(x .* hann(N)));
Y = fftshift(fft(y .* hann(N)));

figure; hold on;
plot(freq/1e3, 20*log10(max(abs(X), 1e-12)), 'DisplayName', 'before');
plot(freq/1e3, 20*log10(max(abs(Y), 1e-12)), 'DisplayName', 'after');
grid on;
xlabel('Frequency, kHz');
ylabel('Magnitude, dB');
legend('Location', 'best');

Мост к C++¶

Будущий примитив на C++ должен разделять генерацию NCO и комплексное умножение:

struct NcoState {
    uint64_t phase;
    uint64_t phase_step;
};

std::complex<float> next_nco_sample(NcoState& nco);
std::complex<float> mix_sample(std::complex<float> x, std::complex<float> osc);

Проверочные тесты:

сгенерированная частота совпадает с целевым сдвигом;
сохраняется непрерывность фазы;
положительные и отрицательные сдвиги корректны;
смешанный тон попадает в ожидаемый бин FFT;
fixed-point ошибка NCO ограничена.

Мост к FPGA / Verilog¶

Отображение на железо:

Функция	Блок RTL
накопление фазы	аккумулятор фазы NCO
генерация синуса/косинуса	LUT, CORDIC или DDS вендора
комплексное умножение	четыре умножителя или оптимизированная форма с тремя умножителями
масштабирование выхода	fixed-point округление и насыщение

Целевой потоковый интерфейс:

clk, rst
in_valid,  in_i,  in_q
out_valid, out_i, out_q

Разрешение NCO по частоте¶

Для аккумулятора шириной A бит:

df = Fs / 2^A

Ширина аккумулятора	Разрешение по частоте
24 бита	`Fs / 16 777 216`
32 бита	`Fs / 4 294 967 296`
48 бит	`Fs / 281 474 976 710 656`

Ожидаемые графики¶

Постройте как минимум:

спектр до смешивания;
спектр после смешивания;
увеличенный вид вокруг целевой частоты;
необязательный график аккумулятора фазы;
необязательный график ошибки квантования NCO.

Чего ожидать¶

Запуск по умолчанию (Fs = 2,4 МС/с, N = 32768, тон на +420 кГц, сдвиг −420 кГц; «аппаратный» NCO использует 32-битный аккумулятор фазы, адресующий таблицу синуса/косинуса на 1024 элемента по 16 бит):

Input peak: 419970.7 Hz
After ideal NCO (-420 kHz): 0.0 Hz
After wrong-sign NCO (+420 kHz): 840014.6 Hz
32-bit phase increment: 3543348019 -> realized shift -420000.000112 Hz (error -0.000112 Hz, resolution 0.000559 Hz)
After hardware NCO: 0.0 Hz, worst NCO spur -58.9 dBc

Показания пика квантованы по бинам. Вход показывает 419 970,7 Гц, а не 420 000, потому что шаг бина 73,2 Гц; не принимайте это за частотную ошибку.
Ошибка знака не заявляет о себе громко. С противоположным знаком тон уходит прочь, на 840 кГц, а выход всё ещё выглядит как чистый тон. Всегда проверяйте, куда попал пик.
Отрицательный сдвиг это большое беззнаковое приращение. −420 кГц становится приращением 3 543 348 019 (это 2^32 − 751 619 277); аккумулятор переполняется по кругу, а сдвиг реализуется с точностью 0,1 мГц: внутри разрешения 0,56 мГц 32-битного аккумулятора.
Чистоту ограничивает размер таблицы, а не аккумулятор. Усечение фазы до 10 адресных бит даёт худшую побочную составляющую −58,9 дБн. Каждый дополнительный адресный бит даёт около 6 дБ (8 бит: −46,8 дБн, 12 бит: −70,8 дБн); 16-битная амплитуда начинает сказываться лишь ниже примерно 8 бит.

Спектр до и после сдвига к DC

Упражнения¶

Вызовите hardware_nco(SHIFT_HZ, lut_addr_bits=a) для a = 6, 8, 10, 12 и постройте худшую побочную составляющую от a. Проведите прямую. Какой размер таблицы нужен для NCO без побочных составляющих выше −90 дБн?
Повторите с amp_bits = 8, 12, 16 при 10 адресных битах. Почему разрядность амплитуды здесь почти не важна?
Выберите сдвиг, равный точной двоичной доле Fs (например Fs / 16). Что происходит с побочными составляющими и почему?
Замените комплексное умножение вещественным (np.real(x) * np.cos(...)). Где появляется лишняя спектральная линия и почему вещественному смесителю нужен фильтр зеркального канала?

Ответы (проверены запуском скрипта лабораторной)

6, 8, 10 и 12 бит адреса дают −36,1, −48,2, −60,3 и −72,2 дБн: около 6 дБ на бит, ≈ −6·a дБн. Для NCO без паразитов до 90 дБн нужен 15-битный адрес: таблица на 32 768 значений, поэтому реальные NCO используют фазовый дизеринг или CORDIC.
При 10 битах адреса 8, 12 и 16 бит амплитуды дают −55,3, −60,2 и −60,3 дБн. Начиная с 12 бит доминирует усечение фазы (−60 дБн), и лишние биты амплитуды ничего не дают; ограничением становятся только 8 бит.
При сдвиге Fs/16 приращение фазы кратно шагу таблицы, поэтому фаза никогда не усекается: худший паразит падает до −100,6 дБн и определяется только квантованием амплитуды. Паразиты усечения возникают только тогда, когда последовательность фаз не попадает на элементы таблицы.
Вещественный смеситель умножает на cos, который содержит и +f, и −f: кроме нужной линии на 0 Гц появляется вторая на 840 кГц (420 + 420 кГц). Вещественный смеситель даёт сумму и разность, поэтому нужен фильтр, убирающий лишнюю.

Чек-лист отчёта (расширенный)¶

Указаны Fs, частота входного тона и целевой сдвиг.
Показано уравнение комплексного NCO.
Построен спектр до и после смешивания.
Проверено итоговое положение частоты.
Объяснены положительные и отрицательные сдвиги частоты.
Рассчитано разрешение NCO минимум для 32-битного аккумулятора фазы.
Объяснено, как микшер отображается в FPGA.
Обсуждены fixed-point масштабирование и насыщение.

Шаблон инженерного вывода¶

Цифровое смешивание сдвигает сигнал с ____ кГц на ____ кГц. В FPGA та же операция
превращается в NCO плюс комплексный умножитель. Основные аппаратные компромиссы —
ширина аккумулятора фазы, способ генерации синуса/косинуса, число умножителей и
масштабирование выхода.