Лабораторная 3.1 — Оконные функции БПФ и спектральная утечка¶

Цель¶

Понять, почему конечная длительность записи и выбор оконной функции влияют на вид спектра, уровень боковых лепестков и точность оценки частоты.

Что выполняется¶

В работе студент:

формирует тестовый синусоидальный или IQ-сигнал;
рассчитывает БПФ без окна и с оконными функциями;
сравнивает ширину главного лепестка и уровень боковых лепестков;
оценивает ошибку определения частоты;
оформляет графики в инженерном стиле.

Результат¶

После выполнения работы должны быть получены:

графики спектра для разных окон;
таблица сравнения оконных функций;
вывод о компромиссе между разрешением и подавлением боковых лепестков.

Что приложить к отчёту¶

параметры сигнала и частоту дискретизации;
длину БПФ;
используемые окна;
спектры до/после применения окон;
краткий инженерный вывод.

Подробная техническая часть¶

Связь с измерениями SDR¶

Работа напрямую связана с измерениями в SDR: если окно FFT и частотная ось выбраны неверно, измеренный спектр может выглядеть убедительно, но приводить к неверным инженерным выводам.

Теория¶

FFT конечной длины наблюдает лишь ограниченное временное окно сигнала. Если частота сигнала не попадает точно в бин FFT, спектр «растекается» по соседним бинам. Это спектральная утечка.

Важные понятия:

частота дискретизации Fs;
длина FFT N;
шаг бинов df = Fs / N;
когерентная и некогерентная частота тона;
прямоугольное окно, окна Ханна, Хэмминга и Блэкмана;
ширина главного лепестка;
подавление боковых лепестков;
коррекция амплитуды.

Эксперимент¶

Сгенерируйте два комплексных тона:

когерентный тон точно в бине FFT;
некогерентный тон между бинами FFT.

Для каждого тона вычислите спектры с окнами:

прямоугольное;
Ханна;
Хэмминга;
Блэкмана.

Сравните:

бин пика;
уровень утечки;
кажущуюся амплитуду;
ошибку оценки частоты;
возможность увидеть слабый соседний тон.

Запуск эталонного скрипта¶

python blocks/block_03_dsp_basics/python/lab_3_1_fft_windows.py

Скрипт детерминирован и записывает:

docs/assets/lab31_fft_windows_leakage.png
docs/assets/lab31_fft_windows_metrics.json

Сначала запустите его и сверьте числа с разделом Чего ожидать ниже. Затем напишите собственную версию по минимальной структуре ниже; эталонный скрипт: ваш ключ для проверки.

Реализация на Python¶

Минимальная структура собственной реализации:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 2.4e6
n = 4096
t = np.arange(n) / fs

f_bin = 250 * fs / n
f_off = (250.35) * fs / n

x = np.exp(1j * 2 * np.pi * f_off * t)

windows = {
    "rectangular": np.ones(n),
    "hann": np.hanning(n),
    "hamming": np.hamming(n),
    "blackman": np.blackman(n),
}

freq = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(n, d=1/fs))

for name, w in windows.items():
    xw = x * w
    spec = np.fft.fftshift(np.fft.fft(xw))
    mag_db = 20 * np.log10(np.maximum(np.abs(spec) / np.sum(w), 1e-12))
    plt.plot(freq / 1e3, mag_db, label=name)

plt.grid(True)
plt.xlabel("Frequency, kHz")
plt.ylabel("Magnitude, dBFS")
plt.legend()
plt.show()

Реализация на MATLAB¶

Минимальная структура собственной реализации:

fs = 2.4e6;
N = 4096;
t = (0:N-1).' / fs;

f_bin = 250 * fs / N;
f_off = 250.35 * fs / N;

x = exp(1j * 2*pi*f_off*t);

windows = {
    'rectangular', ones(N, 1);
    'hann', hann(N);
    'hamming', hamming(N);
    'blackman', blackman(N)
};

freq = fftshift((-floor(N/2):ceil(N/2)-1).' * fs / N);

figure; hold on;
for k = 1:size(windows, 1)
    name = windows{k, 1};
    w = windows{k, 2};
    spec = fftshift(fft(x .* w));
    magDb = 20*log10(max(abs(spec) / sum(w), 1e-12));
    plot(freq/1e3, magDb, 'DisplayName', name);
end

grid on;
xlabel('Frequency, kHz');
ylabel('Magnitude, dBFS');
legend('Location', 'best');

Мост к C++ / FPGA¶

Работа не только про построение графиков. Та же дисциплина FFT/окон встречается в FPGA и встраиваемой диагностике.

Инженерный мост:

Понятие	Взгляд в ПО	Взгляд FPGA / железа
Коэффициенты окна	вектор с плавающей точкой	ROM или память коэффициентов
Умножение на окно	векторное умножение	DSP-блоки или fixed-point умножитель
Длина FFT	размер массива	задержка, память и стоимость ресурсов
Утечка	артефакт графика	реальное ограничение измерения
Коррекция амплитуды	деление на сумму окна	фиксированная компенсация усиления

Ожидаемые графики¶

Постройте как минимум:

спектр когерентного тона с несколькими окнами;
спектр некогерентного тона с несколькими окнами;
увеличенный вид вокруг тона;
необязательный случай обнаружения слабого тона.

Чего ожидать¶

Запуск по умолчанию (Fs = 2,4 МС/с, N = 4096, шаг бина 585,94 Гц; тон полной шкалы в 0,35 бина от бина 250 и второй тон на −60 дБн ровно на 12 бинов выше бина 250):

window         ENBW  scallop  leak@20  weak vis
rectangular    1.00    1.83dB   -35.0dB    -27.7dB
hann           1.50    0.69dB   -87.8dB     14.8dB
hamming        1.36    0.85dB   -52.7dB    -10.8dB
blackman       1.73    0.54dB   -95.4dB     22.5dB

ENBW (эквивалентная шумовая полоса в бинах) это цена окна: 1,0 для прямоугольного, ровно 1,5 для Ханна, 1,73 для Блэкмана. Чем шире ENBW, тем больше шума попадает в каждый бин, поэтому показание шумовой полки в дБ/бин растёт на 10*log10(ENBW): +1,8 дБ для Ханна, +2,4 дБ для Блэкмана.
Потеря «гребёнки» (scalloping): насколько занижено показание тона не в бине. С прямоугольным окном тон в 0,35 бина от сетки занижен на 1,83 дБ; Блэкман теряет только 0,54 дБ. Если вы читаете амплитуду тона по FFT, это ошибка амплитуды, а не изменение сигнала.
Утечка на 20 бинов это место, где окна действительно различаются: −35 дБн у прямоугольного против −88…−95 дБн у Ханна и Блэкмана.
Видимость слабого тона сводит всё вместе. С прямоугольным окном сосед на −60 дБн лежит на 27,7 дБ ниже «юбки» утечки сильного тона и невидим. Хэмминга (−10,8 дБ) тоже недостаточно: его дальние боковые лепестки спадают медленно. Ханн показывает его на 14,8 дБ выше юбки, Блэкман на 22,5 дБ. Один и тот же слабый сигнал либо «отсутствует», либо явно виден в зависимости только от выбора обработки.

Некогерентный тон и сосед на −60 дБн при четырёх окнах

Упражнения¶

Замените NONCOHERENT_BIN с 250,35 на 250,5 (худший случай, ровно между двумя бинами). Насколько вырастет потеря гребёнки прямоугольного окна? Учебное значение: 3,92 дБ.
Отодвиньте слабый тон с 12 на 40 бинов (WEAK_OFFSET_BINS). Покажет ли его теперь Хэмминг? Почему для Хэмминга вердикт зависит от расстояния, а для Блэкмана нет?
Удвойте N до 8192 при том же Fs. Что произойдёт с шагом бина и с утечкой в герцах при фиксированном частотном отступе?
Нужно указать шумовую полку захвата в дБм/Гц. Какую поправку вы вносите для окна Блэкмана и на сколько дБ?

Ответы (проверены запуском скрипта лабораторной)

Потеря гребёнки прямоугольного окна растёт с 1,83 до 3,92 дБ: учебного значения. У остальных: Ханн 1,42, Хэмминг 1,75, Блэкман 1,10 дБ.
Нет. Видимость слабого тона у Хэмминга меняется с −10,8 дБ на 12 бинах до −0,5 дБ на 40: ближе, но всё ещё не виден. Блэкман показывает тон на обоих расстояниях (+22,5 и +54,1 дБ), поэтому его вердикт от расстояния не зависит. Боковые лепестки Хэмминга начинаются около −43 дБ и спадают медленно, поэтому тону −60 дБ нужно большое расстояние; у Блэкмана они начинаются ниже −58 дБ и спадают быстро.
Шаг бина уменьшается вдвое, с 585,9 до 293,0 Гц. При том же отступе в герцах (11,7 кГц) утечка падает, потому что этот отступ теперь вдвое больше бинов: −35,0 → −42,6 дБн у прямоугольного окна, −87,8 → −107,7 дБн у Ханна.
Окно расширяет шумовую полосу каждого бина на свою ENBW: для Блэкмана вычтите 10·log10(1,727) = 2,37 дБ (Ханн 1,76 дБ, Хэмминг 1,35 дБ), а для перехода от бина к герцу, ещё 10·log10(Fs/N).

Чек-лист отчёта (расширенный)¶

Указаны Fs, N, df и частота тона.
Объяснено, когерентен ли тон бинам FFT.
Сравнена ширина главного лепестка для каждого окна.
Сравнено подавление боковых лепестков.
Объяснено, какое окно лучше всего для измерения амплитуды.
Объяснено, какое окно лучше для обнаружения слабого соседнего тона.
Добавлено короткое замечание о стоимости применения окна в FPGA.

Шаблон инженерного вывода¶

Для этого сигнала и длины FFT окно ______ даёт лучшее подавление утечки,
но увеличивает ширину главного лепестка. Для измерений в SDR это значит, что выбор
окна необходимо документировать вместе с Fs, длиной FFT и нормировкой амплитуды.