Лабораторная 4.1 — FIR-фильтр в fixed-point арифметике¶

Цель¶

Перевести FIR-фильтр из floating-point модели в fixed-point представление и оценить, как квантование коэффициентов и отсчётов влияет на ошибку, спектр и устойчивость реализации.

Что выполняется¶

В работе студент:

выбирает формат входных данных и коэффициентов;
квантует коэффициенты FIR-фильтра;
сравнивает floating-point и fixed-point выходы;
оценивает ошибку квантования;
фиксирует правила округления, насыщения и масштабирования.

Результат¶

После выполнения работы должны быть получены:

таблица fixed-point форматов;
график ошибки между float и fixed;
спектры/АЧХ до и после квантования;
вывод о допустимости выбранного формата для FPGA.

Что приложить к отчёту¶

формат данных, например Q1.15;
разрядность коэффициентов;
accumulator width;
правило rounding/saturation;
максимальную и RMS-ошибку;
инженерный вывод для перехода к RTL.

Подробная техническая часть¶

Практический вопрос¶

Какой разрядности достаточно FIR-фильтру, чтобы сохранить полезное качество сигнала и при этом остаться экономичным для реализации в FPGA?

Исполняемые файлы¶

Среда	Файл	Результат
Python	`blocks/block_04_simulink_and_fixed_point/python/lab_4_1_fixed_point_fir.py`	метрики + PNG-графики в `docs/assets`
MATLAB	`blocks/block_04_simulink_and_fixed_point/matlab/lab_4_1_fixed_point_fir.m`	метрики + PNG-графики в `docs/assets`

Запуск из корня репозитория:

python blocks/block_04_simulink_and_fixed_point/python/lab_4_1_fixed_point_fir.py

MATLAB:

matlab -batch "run('blocks/block_04_simulink_and_fixed_point/matlab/lab_4_1_fixed_point_fir.m')"

Сгенерированные Python-графики:

docs/assets/lab41_fixed_point_fir_response.png
docs/assets/lab41_fixed_point_fir_spectrum.png
docs/assets/lab41_fixed_point_fir_error.png

Сгенерированные MATLAB-графики:

docs/assets/lab41_fixed_point_fir_response_matlab.png
docs/assets/lab41_fixed_point_fir_spectrum_matlab.png
docs/assets/lab41_fixed_point_fir_error_matlab.png

Инженерный контекст¶

FIR с плавающей точкой удобен для проектирования алгоритма, но реализация в FPGA требует явных решений о:

формате входных IQ;
формате коэффициентов;
ширине произведения;
ширине аккумулятора;
режиме округления;
режиме насыщения;
масштабировании выхода;
допустимой ошибке относительно эталонной модели.

Цепочка обработки¶

flowchart LR
    X[Входные IQ, формат Q] --> COEF[Квантованные коэффициенты FIR]
    COEF --> MAC[Fixed-point цепочка MAC]
    X --> MAC
    MAC --> ROUND[Округление / масштабирование]
    ROUND --> SAT[Насыщение]
    SAT --> Y[Выходные IQ]
    Y --> ERR[Ошибка float против fixed]

Эталонные реализации¶

Исполняемые скрипты на Python и MATLAB реализуют один и тот же эксперимент:

генерируют комплексный IQ-сигнал с полезным тоном, помехой и шумом;
проектируют низкочастотный FIR с окном Блэкмана;
квантуют входные отсчёты и коэффициенты в Q1.15;
запускают учебную целочисленную fixed-point модель FIR;
сравнивают выходы с плавающей и фиксированной точкой;
считают RMS-ошибку, максимальную ошибку, SQNR, защитные биты и число насыщений;
сохраняют графики сравнения.

Обязательные графики¶

Постройте как минимум:

АЧХ FIR с плавающей точкой;
АЧХ FIR с квантованными коэффициентами;
спектр до фильтрации;
спектр после float FIR;
спектр после fixed FIR;
спектр ошибки или ошибку во временной области.

Метрики¶

Метрика	Как считать	Инженерный смысл
RMS-ошибка	`rms(y_float - y_fixed)`	средняя ошибка реализации
SQNR	RMS сигнала / RMS ошибки	качество квантования
Максимальная абсолютная ошибка	`max(abs(error))`	наихудшее отклонение
Дельта полосы заграждения	полоса заграждения float против квантованной	влияние квантования коэффициентов
Число насыщений	число обрезанных выходных отсчётов	качество масштабирования

Отображение на HDL¶

Fixed-point FIR отображается на потоковый блок:

input  wire              clk
input  wire              rst
input  wire              in_valid
input  wire signed [15:0] in_i
input  wire signed [15:0] in_q
output wire              out_valid
output wire signed [15:0] out_i
output wire signed [15:0] out_q

Варианты реализации:

Архитектура	Плюсы	Минусы
Полностью параллельный FIR	максимальная пропускная способность	много умножителей
MAC, мультиплексированный по времени	меньше ресурсов	ниже пропускная способность / больше управляющей логики
Симметричный FIR	меньше умножителей	только для симметричных коэффициентов

Чего ожидать¶

FIR taps: 129
Cutoff: 250.0 kHz
Input/coefficient format: Q1.15
Recommended FIR guard bits: 8
RMS error: 3.975029e-05
Max abs error: 7.540183e-05
SQNR: 83.51 dB
Saturation count: 0

SQNR 83,5 дБ это весь путь с фиксированной точкой (округление входа, коэффициентов и выхода) против фильтра с плавающей точкой. Максимальная ошибка 7,5e-5 это около 2,5 LSB Q1.15 (1 LSB = 3,05e-5).
Ноль насыщений: вход нормирован к пику 0,85, а коэффициенты к единичному усилению на постоянном токе, поэтому выход не может превысить полную шкалу.
8 защитных бит = ceil(log2(129)). С этими коэффициентами сумма |h| равна 1,81, поэтому реальный худший рост меньше 1 бита; правило: надёжная верхняя граница и ничего не стоит в DSP48 с 48-битным аккумулятором.
Полосу задерживания задаёт квантование коэффициентов: АЧХ с коэффициентами Q1.15 достигает -71,0 дБ начиная с 400 кГц против -89,7 дБ для коэффициентов с плавающей точкой (тот же фильтр, что в Lab 3.2).

Упражнения¶

Измените q_fractional_bits и перезапустите. При sample_count = 8192 (чтобы цикл на чистом Python работал быстро) SQNR составил 83,5, 80,7, 75,9, 66,4 и 63,9 дБ для 15, 14, 13, 12 и 11 бит и 49,3 дБ при 9. Квантование только коэффициентов (данные с плавающей точкой) даёт почти те же числа (84,1 дБ при 15 битах), значит, доминируют коэффициенты. Поэтому и шаги нерегулярны, а не 6,02 дБ на бит: ошибка коэффициентов это одно фиксированное детерминированное изменение фильтра, а не белый шум, добавленный к каждому отсчёту.
Проквантуйте только коэффициенты и постройте полосу задерживания. Наблюдаемые пики начиная с 400 кГц: -71,0 дБ (15 дробных бит), -59,6 дБ (13), -47,9 дБ (11), -35,3 дБ (9), снова около 6 дБ на бит. Посчитайте коэффициенты, округлившиеся в ноль (ненулевых 115, 107, 93, 73 из 129). Что дешевле для требования -80 дБ: больше бит коэффициентов или более короткий фильтр с большими коэффициентами?
Увеличивайте вход, пока счётчик насыщений не станет ненулевым. Что происходит с SQNR и почему несколько насыщений гораздо хуже нескольких LSB ошибки округления?

Ответы (проверены запуском скрипта лабораторной)

Числа приведены в самом упражнении; суть в неравномерных шагах: ошибка коэффициентов это одно фиксированное изменение характеристики фильтра, поэтому ошибка зависит от того, как это изменение ложится на конкретный сигнал, а не от равномерной шумовой полки.
Два бита коэффициентов. 17 дробных бит дают пик полосы подавления −84,9 дБ, а 18-битный коэффициент всё ещё помещается в 18-битный порт DSP48E1 без дополнительных затрат. Более короткий фильтр имеет крупнее отводы, но шире переход и мельче полосу подавления, поэтому удаляется от −80 дБ, а не приближается.
Увеличение пика входа с 0,85 до 1,0 ничего не меняет (SQNR 83,6 дБ). При 1,2 SQNR обваливается до 33,1 дБ, а счётчик насыщений по-прежнему 0: входной квантователь молча обрезает отсчёты выше полной шкалы, а счётчик следит только за выходом. При 1,5 счётчик показывает 44 события и SQNR 20,3 дБ; при 2,0: 4911 событий и 11,7 дБ. Ошибка округления не больше половины МЗР; обрезанный отсчёт ошибается на всё превышение, поэтому горстка таких отсчётов перевешивает миллионы ошибок округления. И счётчик видит переполнения только там, где он поставлен.

Чек-лист отчёта (расширенный)¶

Указаны форматы входа, коэффициентов, произведения, аккумулятора и выхода.
Объяснено квантование коэффициентов.
Построены АЧХ float и квантованного FIR.
Сравнены выходные спектры.
Вычислены RMS-ошибка и SQNR.
Подсчитаны события насыщения.
Оценены защитные биты аккумулятора.
Указано, готов ли FIR для HDL.

Шаблон инженерного вывода¶

Выбранный формат FIR ______ даёт SQNR = ____ дБ и число насыщений = ____.
Квантование коэффициентов меняет подавление в полосе заграждения примерно на ____ дБ.
Аккумулятору требуется не менее ____ защитных бит для ____ коэффициентов.
Эта конфигурация готова / не готова к реализации в HDL, потому что ______.

Сигнал	Начальный формат	Примечания
Входные IQ	Q1.15	нормированные комплексные отсчёты
Коэффициенты FIR	Q1.15	коэффициенты Блэкмана/оконного sinc
Произведение	Q2.30	умножение Q1.15 на Q1.15
Аккумулятор	Q6.30 или шире	зависит от числа коэффициентов
Выходные IQ	Q1.15	после округления и насыщения