Лабораторная 8.9 — Восстановление несущей QPSK (петля Костаса, управляемая решениями)

Цель

Лабораторная 8.8 закончилась открытой проблемой: некорректированный сдвиг частоты несущей (CFO) поворачивает каждый символ QPSK на растущую фазу, размазывая четыре точки созвездия в кольцо, которое жёсткое решение не может прочитать (BER ≈ 0,5). Эта работа закрывает проблему петлёй восстановления несущей, которая разворачивает кольцо обратно в четыре точки, и показывает единственную особенность, которой нет у BPSK: остаточную неоднозначность фазы 90°.

Петля

Восстановление это петля Костаса, управляемая решениями: потоковая петля с обратной связью ровно той структуры, которую вы поставили бы в FPGA (аккумулятор фазы NCO + пропорционально-интегральный фильтр петли + детектор фазовой ошибки), частотный двойник петли тайминга Гарднера.

Для каждого символа s:

y = s · e^(−jθ)                      # развернуть на текущую фазу NCO
e = sign(Re y)·Im y − sign(Im y)·Re y   # фазовая ошибка QPSK по решениям
freq += ki·e                         # интегральный член отслеживает CFO
θ    += freq + kp·e                  # пропорциональный член отслеживает фазу

Детектор фазовой ошибки e равен нулю, когда y лежит на точке QPSK, а иначе подталкивает θ к ближайшей, поэтому петля загоняет кольцо на сетку созвездия. Интегральный член freq накапливается в постоянный наклон, который совпадает с рампой CFO на левой нижней панели ниже видно, как фаза NCO растёт ровно вдоль этой рампы.

• Принятый сигнал (кольцо): QPSK + CFO, BER ≈ 0,5, не декодируется.
• После Костаса + разворота по преамбуле: четыре чистых облака; CFO убран.
• Фаза NCO: захватывает рампу CFO примерно за сотню символов при показанном смещении 0,01 цикла/символ (большие смещения требуют больше времени, см. ниже).
• BER от CFO: без восстановления BER стоит на уровне случайного угадывания при любом ненулевом CFO; с петлёй он остаётся равным 0 на всём участке развёртки.

Неоднозначность 90°

Детектор ошибки петли Костаса для QPSK «доволен» в любой из четырёх точек созвездия, поэтому он захватывает один из четырёх поворотов k·90°, и какой именно, произвольно. Кольцо превращается в четыре чистые точки, но абсолютная разметка I/Q может оказаться повёрнутой, перемешивая биты (BER 0,25–0,5), хотя созвездие выглядит идеально. Поэтому сырая кривая BER от CFO для Костаса «прыгает».

Исправление это та же известная преамбула / уникальное слово, которую уже использует модем BPSK для кадровой синхронизации (8-битное слово захвата из Лабораторной 8.8 и Блока 11): перебрать четыре поворота и оставить тот, что совпадает с преамбулой. Именно это превращает шумную кривую в ровную линию BER = 0 выше. Скрипт использует 32 известных символа как такую преамбулу и оценивает BER только на символах после неё. (Альтернатива это дифференциальное кодирование QPSK: оно убирает неоднозначность без преамбулы ценой ~2-кратного штрафа по BER.)

Воспроизведение

python blocks/block_08_modulation_and_synchronization/python/qpsk_carrier_recovery.py
# -> по строке на каждую точку CFO (см. «Чего ожидать»), затем
# -> raw BER @ CFO=0.01: 0.5005 | recovered: 0.0

Чего ожидать

Развёртка BER от CFO посылает 20 000 символов на точку при Eb/N0 = 12 дБ, пропускает первые 1000 символов, использует следующие 32 известных символа как преамбулу, выбирающую поворот на 90 градусов, и оценивает оставшиеся 37 936 бит. Также печатается время захвата: индекс символа после последней ошибки символа, измеренный по известным данным.

CFO, циклов/символ	0 - 0,004	0,006	0,008	0,010	0,012	0,014	0,016	0,018	0,020
захват, символов	0	21	68	95	315	268	477	384	650
сырой BER	0 при CFO 0, иначе около 0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50
BER после восстановления	0	0	0	0	0	0	0	0	0

• BER после восстановления равен 0 во всех точках при 37 936 битах на точку, поэтому утверждение: «ниже примерно 1e-4 на точку», а не «без ошибок».
• Время захвата резко растёт со смещением, причём не плавно: около 100 символов при показанном на графике 0,01 цикла/символ и 650 при 0,02. За пределами полосы захвата петля входит в синхронизм через проскальзывания циклов, пока интегратор не догонит, и число проскальзываний зависит от шума.
• Пропуск 1000 символов не бесплатен. Именно он держит преамбулу вне фазы захвата. Упражнения показывают, что будет, если его укоротить.

Упражнения

1. В ber_vs_cfo() измените пропуск с 1000 на 100 символов. До 0,010 цикла/символ ничего не меняется, но начиная с 0,012 BER после восстановления становится 0,996, 0,997, 0,501, 6,95e-3 и 0,987. Преамбула теперь попадает в фазу захвата: выбранный ею поворот верен для того момента и неверен для уже захваченной полезной нагрузки (BER около 1 это ошибка на 180 градусов, около 0,5 на 90). Реальный приёмник должен ставить преамбулу после захвата петли или сначала прогонять петлю на достаточно длинной обучающей последовательности.
2. Удвойте коэффициенты петли (kp=0.04, ki=0.004): время захвата падает до 0 вплоть до 0,012 цикла/символ и до 211 символов при 0,02. Уменьшите их вдвое (kp=0.01, ki=0.001): захват доходит до 546 символов при 0,01 и 5643 при 0,02, а начиная с 0,012 даже пропуска 1000 символов не хватает (BER после восстановления 0,997, 2,5e-2, 0,500, 0,950, 0,120). Чем вы платите за более широкую петлю? Измерьте EVM после восстановления при CFO = 0 для обоих наборов коэффициентов.
3. Измените resolve_90deg_ambiguity() так, чтобы поворот выбирался по наименьшему BER на всём кадре, как в прежней версии этого скрипта. Объясните, почему результат развёртки здесь не меняется и почему такой выбор всё равно неверен для приёмника: он использует полезную нагрузку как собственный эталон.
4. Дифференциальный QPSK снимает неоднозначность без преамбулы. Объясните, откуда берётся его примерно двукратный штраф по BER.

Ответы (проверены запуском скрипта лабораторной)

1. Числа приведены в упражнении. Пока контур ещё затягивается, созвездие продолжает вращаться; преамбула выбирает поворот, верный в этот момент, а после захвата созвездие останавливается в другом положении, поэтому полезная нагрузка декодируется в другом повороте (BER около 1,0 или 0,5). Неоднозначность нужно разрешать только после захвата: поэтому по умолчанию пропускаются 1000 символов.
2. Числа приведены в упражнении. Большие коэффициенты расширяют полосу контура: быстрее захват и шире диапазон захвата, ценой большего шума в оценке фазы. Малые коэффициенты тише, но медленнее, и начиная с некоторого смещения захват длится дольше окна пропуска, так что неоднозначность снова разрешается слишком рано. Коэффициенты контура размениваются между захватом и шумом слежения; бесплатной настройки нет.
3. В этой чистой развёртке оба правила выбирают одинаковый поворот, поэтому таблица не меняется. Но выбор по «наименьшему BER по кадру» сравнивает полезную нагрузку с переданной нагрузкой, которой у реального приёмника нет; он сообщил бы поворот и BER, которые приёмник никогда не смог бы найти. Законная опора: только известная преамбула (или дифференциальное кодирование).
4. Дифференциальное детектирование сравнивает каждый символ с предыдущим. Шумовая ошибка в одном символе портит обе разности, в которых он участвует, поэтому ошибки идут парами и BER примерно удваивается (а когерентное дифференциальное декодирование теряет ещё немного SNR). Лабораторная 11.45 использует его на оборудовании и платит этот штраф, чтобы убрать проблему поворота.

Следующие шаги

• RTL: эта петля перенесена в blocks/block_05_fpga_hdl_flow/rtl/qpsk_costas.v (NCO + ПИ + тот же детектор по решениям, комплексный разворот на символьной частоте), расположена между символьным сэмплером и жёстким решением. Она разворачивает четырёхточечное созвездие на кристалле и проверяется testbench tb_qpsk_rx_costas и tb_qpsk_costas_stress, повторяя путь переноса петли тайминга Гарднера.
• Железо: петля входит в приёмник в fabric, проверенный по воздуху в Lab 11.4, где дифференциальный QPSK с преамбулой снимает неоднозначность 90° (Lab 11.45). Сырое созвездие по воздуху, наблюдаемое независимым приёмником, сравните с Lab 8.15.